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【其他】微积分 笔记
微积分的三个中心思想:积分,微分,两者互逆近似过渡到精确困难问题$\Rightarrow$许多小量之和$\Righ...
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2018/11

【其他】微积分 笔记

微积分的三个中心思想:积分,微分,两者互逆

近似过渡到精确

困难问题$\Rightarrow$许多小量之和$\Rightarrow$图像下的面积

$0-x$曲线下的面积指积分$A(x)$

$dx = tiny\ nudge\ in\ x$

$dA = tine\ diffenrence\ in\ Area$

$dA \approx f(x)dx$

$$\frac{dA}{dx} \approx f(x)$$

$$\frac{A(x+dx) - A(x)}{dx}\approx f(x)$$

Gets better as $dx \rightarrow 0$

$\frac{dA}{dx}$这一比值叫做$A$的导数,是当$dx$越来越小时这个比值所趋向的值

牛顿-莱布尼茨公式(Fundamental theorem of calculus)

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = A(b) -A(a)$$

什么是导数

瞬时变化率
Instantaneous(One point in time) rate of change(Requires multiple points in time)

当将自己限制在一个瞬间点时,也就没有变化的余地了

不计算当前时刻,而是计算时间段

在极限意义下代表当前时刻的变化率(的最佳近似)

$dt$ is not "infinitely small"

$dt$ if not 0

函数的切线,某一点附近的变化率

$dt^2$可以忽略(高阶无穷小项)

Sum rule

两个函数的和的导数$\Leftrightarrow$两函数导数的和

$$d(g(x) + h(x)) = d(g(x)) +d(h(x))$$

$$\frac{df}{dx} = \frac{dg}{dx} + \frac{dh}{dx}$$

考虑复合函数变化的分解

Product rule

考虑面积变化

$d(g(x) * h(x)) = g(x) * d(h(x)) + h(x) * d(g(x)) + d(g(x)) * d(h(x))$

其中$d(g(x)) * d(h(x))$中有$dx^2$,忽略,得:

$$d(g(x) * h(x)) = g(x) * d(h(x)) + h(x) * d(g(x))$$

$$\frac{df}{dx} = g(x)\frac{dh}{dx} + h(x)\frac{dg}{dx}$$

左乘右导,右乘左导

Chain rule

对于每个函数分开考虑

$$\frac{df}{dx} = \frac{g(h(x+dx)) - g(h(x))}{dx} = \frac{g'(h(x)) * (h(x + hx) - h(x))}{dx} = \frac{dg}{dh}(h(x))\frac{dh}{dx}(x)$$

//需要多项式代入,有点难,希望不会遇到吧QwQ

指数函数

$$\frac{dM}{dt}(t) = \frac{2^{t+dt} - 2^t}{dt}$$

$$\frac{dM}{dt}(t) = \frac{2^t 2^{dt} - 2^t}{dt}$$

$$\frac{dM}{dt}(t) = 2^t(\frac{2^{dt} - 1}{dt})$$

$$\frac{2^{dt} - 1}{dt}\approx 0.6931$$

$$\frac{3^{dt} - 1}{dt}\approx 1.0986$$

$$\frac{8^{dt} - 1}{dt}\approx 2.0794 = 3*\frac{2^{dt} - 1}{dt}$$

$$\frac{e^{dt} - 1}{dt}\approx 1$$

$f(t) = e^t$的导数为$f'(t) = e^t$

极限

导数的正式定义

$dx , df$的$d$内含极限定义

$$\frac{df}{dx}(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}(Formal\ derivative\ definition)$$

极限的$(\epsilon,\delta)$定义

$\frac{(2+h)^3 - 2^3}{h}$

图像看起来像一条抛物线,也说得通,因为这个函数就是一个三次项除以一次项

当$h = 0$时,函数无意义
当时可以看做“逼近”12

对于$0$左右的点,当取值的范围缩小时,其取值范围越来越接近12

左极限,右极限是否收缩,收缩后的范围是否为一个确定值上

求极限方法:

  1. 取一个接近的值
  2. 导数

在0点可导

洛必达法则

$$ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{df}{dx}(a)dx}{\frac{dg}{dx}(a)dx}​ $$

Last modification:November 7th, 2018 at 08:55 pm
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