Chlience

【其他】微积分
"So far as the theories of mathematics are bout reality, ...
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2018/11

【其他】微积分

"So far as the theories of mathematics are bout reality, they are not certain: so far as they are certain, they are not about reality."

导数

汽车运行问题

建立 $s(t)$ 函数

其中一小段时间定义为 $dt$ ,这段时间差内运动的距离差定义为 $ds$
那么任意一点的速度就可以用 $ds/dt$ 来表示

可以将 $ds/dt$ 这个表达式看作一个关于 $t$ 的函数

$$ \frac{ds}{dt}(t)=\frac{s(t+dt)-s(t)}{dt} $$

即得到每个点的速度

事实上,在数学中,导数的完全体是当 $dt$ 无限逼近于 $0$ 时,这个比值的极限

显然 $ds/dt$ 可以认为是两点之间的斜率,考虑在图像上不断逼近时(缩小 $dt$),这两点也不断靠近,斜率也越来越接近在 $t$ 点时图像切线的斜率

思考:不是连续函数怎么办?

$dt$:一个有限小的非零量(区分无穷小)
切线:求某一点附近的变化率的最佳近似

例如如下函数 $s(t)=t^3$,求 $\frac{ds}{dt}(t)$

可列出方程 $\frac{ds}{dt}(t)=\frac{s(t+dt)-s(t)}{dt}$
然后用代数解出来

分子展开为:$s(t+dt)-s(t)=(t+dt)^3-t^3$
代入得:$t^3+3(t)^2(dt)+3(t)(dt)^2+(dt)^3-t^3$

两个 $t^3$ 互相抵消,剩下来的每一项都带一个 $dt$
由于分母也是 $dt$,所以消掉了

即 $\frac{ds}{dt}(t)=3(t)^2+3(t)(dt)+(dt)^2$
当 $dt$ 无限逼近于 $0$ 时,后面这两项就能完全忽略了,这样就消掉了表达式很多复杂的部分

所以 $\frac{ds}{dt}(t)=3(t)^2$
那么可以说函数 $s(t)=t^3$ 的导数,就是一个关于 $t$ 的导函数 $3t^2$

图像求导问题

导数的实质就是看某个量的微小变化以及它和它所导致的另一个量的微小变化有什么关系

$f(x)=x^2$ 的导数是什么?

或者将 $f(x)$ 函数看作求边长为 $x$ 的正方形的面积,那么如果边长增加 $dx$,那么正方形面积的增加量为多少
这种情况下 $df=$ 正方形面积的增加量

显然增加了三块面积,分别为 $x*dx,dx*x,dx*dx$
因为最终我们要除去这个微小变化量 $dx$,那么可以说所有 $dx$ 的指数大于等于 $2$ 的都可以忽略掉(常数乘无限逼近于 $0$ 的数,可以忽略)

所以最后得到的导数为 $2x$

$f(x)=x^3$ 的导数是什么?

类似的将 $f(x)$ 函数看作求边长为 $x$ 的正方体的体积,那么如果边长增加 $dx$,那么正方体的体积的增加量为多少
这种情况下 $df=$ 正方形体积的增加量

易得增加了有 $7$ 个部分,体积分别为 $(x)^2(dx),(x)^2(dx),(x)^2(dx),(x)(dx)^2,(x)(dx)^2,(x)(dx)^2,(dx)^3$
同样忽略所有 $dx$ 的指数大于等于 $2$ 的项

那么最后得到的导数为 $3x^2$

当然在每次求导时并不需要去想象一个正方形或者正方体,这是因为它们都遵从一个幂函数的明显规律:

$$ \frac{d(x^n)}{dx}=nx^{n-1} $$

为什么这个式子是正确的呢?

考虑 $x^n \to (x+dx)^n$,想要求出这个函数值非常的复杂
所以感谢牛顿大爷的二项式定理吧!

$$ (x+dx)^n=\sum_{i=0}^{n}C_n^i(x)^i(dx)^{n-i} $$

但是还是很长,怎么办呢?
注意到前面说到所有 $dx$ 的指数大于等于 $2$ 的都可以忽略,所以最后这里就剩下了两项:$x^n+C_n^1(x)^{n-1}(dx)$,其减去 $x^n$ 再除 $dx$ 便得到其导数为 $C_n^1x^{n-1}$,也就是前文所说的 $nx^{n-1}$ 了

那么如果扩展到 负数 范围呢,如何理解?

$f(x)=x^{-1}$ 的导数是什么?

当然,你可以直接用前面求得的公式算得 $\frac{df}{dx}(x)=-x^{-2}$

那么从几何角度怎么思考?

考虑这是一个变化的长方形,其长宽分别为 $x​$ 和 $\frac{1}{x}​$
显然它的面积永远是 $1​$

现在考虑如果 $x$ 获得一个微小的增量 $dx$,它的高度该怎么变化?

这个长方体上面的面积变化了了 $d(\frac{1}{x}) * x$,右边的面积变化了了 $dx*\frac{1}{x}$
而因为总面积不变,所以说两者之和应该为 $0$ 的,即 $d(\frac{1}{x})*x+dx*\frac{1}{x}=0$

那么解得 $d(\frac{1}{x})=-dx*\frac{1}{x^2}$
最终导数为 $-x^{-2}$,与用公式算得的结果相同

那么如果扩展到 分数 范围呢?
请自行求解
提示:考虑到用面积作为自变量,边长作为因变量

链式法则和乘积法则

"Using the chain rule is like peeling an onion: you have to deal with each layer at a time, and if it is too big you will start crying."

加法法则

两个函数的和的导数就是它们导数的和

当 $f(x)=g(x)+h(x)​$ 时有

$$ \frac{df}{dx}=\frac{dg}{dx}+\frac{dh}{dx} $$

乘法法则

当 $f(x)=g(x)h(x)$ 时有

$$ \frac{df}{dx}=g(x)\frac{dh}{dx}+h(x)\frac{dg}{dx} $$

可以将结果看作一个矩形的面积,边长分别为 $g(x)$ 和 $h(x)$。
当产生一个很小的改变量 $dx$ 时,将会产生三块新的矩形,其面积分别为 $g(x)dh,h(x)dg$ 和 $dgdh$

其中最后一项 $d(g(x))*d(h(x))$ 可以去掉,因为其必然正比于 $(dx)^2$ ,而 $dx$ 逼近 $0$ 时它可以被忽略

当然也可用一个口诀:左乘右导,右乘左导

乘常数时就简单很多,因为其导数为 $0$,消掉了两块面积

复合法则

当 $f(x)=g(h(x))$ 时有

$$ \frac{df}{dx}(x)=\frac{dg}{dh}(h(x))\frac{dh}{dx}(x) $$

可以发现在这里并没有像之前一样省略导数的内层,这是因为外层函数 $g$ 要求的并不是和 $x$ 相关的而是和 $dh$ 相关的导数

这个式子可以这样理解:$df=\frac{dg}{dh}\frac{dh}{dx}dx$
也就是说 $h$ 函数的变化量是其在 $x$ 位置的导数乘上微小变化量 $dx$
而 $g$ 函数的变化量是其在 $h(x)$ 位置上的导数乘上微小变化量 $dh$

所以最终 $dx$ 引起的总变化量为 $df$ 即 $\frac{dg}{dh}\frac{dh}{dx}dx$
将 $dx$ 移动到左侧即为原式

在实际运用时,可以假设里面的部分 $h(x)$ 为一个常数,求导后代换回来即可

指数函数求导

"Who has not been amazed to learn that the function $y=e^x$, like a phoenix rising again from its won ashes, is its own derivative?"

类似的,我们先以一个简单的函数开始 $f(x)=2^x$

容易发现导数的形式:$\frac{df}{dx}=\frac{2^{x+dx}-2^x}{dx}$

现在还看不太出来,所以需要对其进行变形:$\frac{df}{dx}=2^x\frac{2^{dx}-1}{dx}$
用计算器算得右边的 $\frac{2^{dx}-1}{dx}$ 与 $x$ 无关,在 $dx \rightarrow 0$ 时貌似是一个常数,大概是 $0.6931472...$

那么 $g(x)=3^x$ 呢?
同样,其导数为 $3^x\frac{3^{dx}-1}{dx}$,在 $dx \rightarrow 0$ 时貌似就变得和 $2^x$ 一样为一个常数乘上本身的形式,大概是 $1.0986123...$

甚至你会发现,当 $h(x)=e^x$ 时,这个系数为 $1$,使得其导数就是本身

所以说,我们就能借助 $e$ 这个神奇性质来求其他指数函数的导数

比如说 $2=e^{ln(2)},2^x=e^{ln(2)x}$

借助链式法则,设 $g(x)=e^x,h(x)=ln(2)x$
那么求 $f(x)=2^t$ 的导数就转化为了求 $f(x)=g(h(x))$ 的导数

显然易得其结果为 $ln(2)e^{ln(2)t}=ln(2)2^t$,也就是 $0.6931472...$

其他指数函数也是这个道理,其必定能被写为 $e^{ln(c)x}$ 的形式,从而解决

但是,$e$ 其实并不是这个函数的根基所在,你甚至可以将其写成 $\pi^{\log_{\pi}(c)x},42^{\log_{42}(c)x}$,这只是我们选出来的最为简单的一个表达方式而已,它拥有着最自然的意义:其导数等于其本身

Last modification:December 1st, 2018 at 08:54 pm
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