组合排列
核心：数列卷积转化为多项式卷积转化为函数乘法
设集合 A 的 n 组合方案数为 $a(n)$，
集合 B 的 n 组合方案数为 $b(n)$，
同时 $A\cap B=\emptyset$，
那么集合 $H=A\cup B$ 的 $n$ 组合方案数为两者的卷积：
$$
h(n)=\sum_{k=0}^{n}a(k)*b(n-k)
$$
这符合多项式乘法的形式，对应生成函数为
$$
f_h(x)=\sum_{k=0}h(k)x^{k}
$$
设集合 A 的 n 排列方案数为 $a(n)$，
集合 B 的 n 排列方案数为 $b(n)$，
同时 $A\cap B=\emptyset$，
那么集合 $H=A\cup B$ 的 $n$ 排列方案数为：
$$
h(n)=\sum_{k=0}^{n}a(k)*b(n-k)*\frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
表达式仍然是卷积的形式，
但是增加了一些和下标相关的常数，
尝试进行变形
$$
\frac{h(n)}{n!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{a(k)}{k!}*\frac{b(n-k)}{(n-k)!}
$$
这符合多项式乘法的形式，对应生成函数为
$$
f_h(x)=\sum_{k=0}\frac{h(k)}{k!}x^{k}
$$
单纯转化为多项式之后并没有简化计算。
注意到无穷多项式可能是某个函数的展开式，
那么利用该函数进行计算可能更加简便。如：
$$
\sum_{k=0}{n\choose k}x^k=(1+x)^n\
\sum_{k=0}{n\choose k}(-x)^k=(1+x)^n\
\sum_{k=0}{n+k-1\choose k}(x)^k=\frac{1}{(1+x)^n}\
\sum_{k=0}{n+k-1\choose k}(-x)^k=\frac{1}{(1-x)^n}
$$
$$
\sum_{k=0}\frac{x^k}{k!}=e^x\
\sum_{k=0}\frac{(-x)^k}{k!}=e^{-x}\
\sum_{k=0}\frac{x^{2k}}{(2k)!}=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})\
\sum_{k=0}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})
$$
算法流程如下：
- 将数列转化为多项式函数
- 将多项式函数转化为泰勒展开前的函数
- 函数乘法
- 函数乘法结果展开为多项式函数
- 多项式函数转化为数列
函数通项
生成函数和数列是一一对应的，
数列满足的性质生成函数的系数也应（在某种形式上）满足
那么求出满足性质的生成函数就能反推出对应数列
核心：利用性质消项